27.1. Вывод уравнения колебаний струны

Рассмотрим туго натянутую струну, закрепленную на концах. Выведем струну из положения равновесия (оттянув ее или ударив по ней), струна начнет колебаться.

Предположим, что любая точка струны колеблется по прямой, перпендикулярной к исходному положению струны, и струна все время находится в одной и той же плоскости.

Рис. 27.1

Выберем в этой плоскости декартову прямоугольную систему координат Охu. В качестве оси Ох возьмем прямую, на которой находилась струна в положении равновесия, за ось Оu примем прямую, проходящую через левый конец струны и перпендикулярно к оси Ох (рис. 27.1).

Отклонение струны от положения равновесия обозначим через u; очевидно, u зависит от абсциссы х точки струны и времени t, т.е. u = u(х, t).

При фиксированном t графиком функции u = u(х, t) в плоскости Охu является форма струны в данный момент времени t. Угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой х равен частной производной по х от функции u(х, t) т.е.

(27.1)

где α = α(x, t) – угол наклона касательной.

Чтобы составить представление о колебаниях струны, необходимо начертить ряд графиков функции u = u(х, t) при различных значениях t.

При фиксированном значении х функция u = u(х, t) определяет закон движения точки с абсциссой х. Эта точка движется по прямой, параллельной оси Оu. Скорость и ускорение указанного движения выражаются соответственно формулами

(27.2)

Будем изучать малые колебания струны, т.е. такие, при которых угол α = α(x, t) (угол наклона касательной к графику функции u = u(х, t) при каждом фиксированном значении t) настолько мал, что его квадратом можно пренебречь, т.е. приближенно считать

(27.3)

α² = 0

Поскольку

то отсюда следует, что

(27.4)

sin α = α, cos α = 1.

Далее, так как

tg α – sin α = tg α(1 – cos α) = tg α · 0 = 0,

то

(27.5)

tg α = sin α

Принимая во внимание (27.3) – (27.5), заключаем, что

(27.6)

tg² α = 0, или

Следовательно, длина дуги струны, ограниченной точками M1(x1, u1), M2(x2, u2) выразится формулой

(27.7)

Соотношение (27.7) означает, что длина любого участка струны остается постоянной.

Рис. 27.2

Будем предполагать струну абсолютно гибкой, что означает следующее: если удалить участки ОМ1, M2L (см. рис. 27.1), то их действия на участок М1М2 заменяются соответственно действием сил натяжения T1 и Т2, направленных по касательным к графику функции u = u(х, t) в точках М1 и М2 (рис. 27.2). Поскольку по предположению точки струны движутся по прямым, параллельным оси Оu, то сумма проекций сил T1, Т2 на ось Ох равна нулю. Проектируя эти силы на ось Ох, получаем T2сos α2 – T1cos α1 = 0, где T1, Т2 – величины сил T1, Т2.

На основании второго из равенств (27.4) заключаем, что T1 = T2 т.е. величина силы натяжения остается постоянной. Обозначая ее через T, получаем

(27.8)

T = T1 = T2.

Проектируя силы T1, Т2 на ось Оu, находим

T2 sin α2– T1sin α1 = T(sin α2 – sin α1) = T(tg α2– tg α1).

С учетом равенства (27.1) получаем

T(tg α2 – tg α1) = T[u'x(x + Δx,t) – u'x(x, t)]

где х – абсцисса точки М1; х + Δх – абсцисса точки М2.

Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении дифференцируемой функции, находим, что

поэтому проекция сил натяжения T1 и Т2 на ось Ох выразится формулой

(27.9)

Предположим, что на струну действуют также внешние силы, параллельные оси Оu, плотность распределения* которых равна g(x, t), тогда величина равнодействующей этих сил, приложенных к участку М1М2, приближенно равна g(x, t)Δx. Силами сопротивления внешней среды пренебрегаем.

* Под плотностью понимают предел средней плотности распределения сил на данном отрезке, когда длина отрезка стремится к нулю; средняя плотность – отношение величины равнодействующей сил к длине отрезка, на котором они приложены.

Будем считать струну однородной, обозначим через ρ ее линейную плотность, тогда масса участка М1М2 выразится так: ρМ1М2 = ρΔх, m = ρΔх

В соответствии со вторым законом Ньютона mw = F (произведение массы на ускорение равно действующей силе) получаем

или

(27.10)

где

(27.11)

Уравнение (27.10) называется уравнением колебаний струны, или одномерным волновым уравнением.

Если g(x, t) = 0 (внешние силы отсутствуют), то уравнение (27.10) принимает вид

(27.12)

Уравнение (27.12) называется уравнением свободных колебаний, уравнение (27.10) — уравнением вынужденных колебаний струны.

27.2. Начальные и краевые условия. Задача Коши

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Задача Коши методом Лагранжа
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.

Чтобы из множества решений уравнения с частными производными второго порядка выбрать определенное решение, необходимо задать дополнительные условия.

Так, в случае уравнения (27.10) или (27.12) нужно указать отклонение и скорость движения в начальный момент времени t0 (будем полагать t0 = 0), т.е.

(27.13)

где f(x), F(x) – заданные функции, а также зафиксировать отклонения концов струны. Поскольку концы закреплены, то

(27.14)

где l – длина струны.

Условия (27.13) называются начальными условиями, а условия (27.14) – краевыми (или граничными) условиями.

Итак, задача о свободных колебаниях струны ставится следующим образом. Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения с частными производными второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям u(х, 0) = f(x), u'(х,0) = F(x) и краевым условиям u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

Функции f(х) и F(x) определены на отрезке [0, l], из краевых условий следует, что f(0) = 0, f(l) = 0. Можно доказать, что при некоторых предположениях относительно функций f(x) и F(x) поставленная задача имеет единственное решение.

В случае, когда предполагается, что струна является неограниченной, граничные условия не налагаются.

Задача о свободных колебаниях неограниченной струны ставится так. Найти решение u = u(х, t) уравнения с частными производными второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям

где f(x) и F(x) – заданные функции, определенные на всей действительной оси. Эта задача называется задачей Коши.

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Задача Коши методом Лагранжа
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.

27.3. Задача о свободных колебаниях бесконечной струны. Метод Д'Аламбера

Как уже отмечалось, задача о свободных колебаниях бесконечной струны, или задача Коши, состоит в следующем.

Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения

(27.15)

удовлетворяющее начальным условиям

(27.16)

где f(х), F(x) – заданные функции, определенные в бесконечном промежутке (-∞, +∞).

Уравнение (27.15) перепишем так: и (положив t = у) сравним его с уравнением (26.9). Поскольку В² - АС = а² > 0, то уравнение является уравнением гиперболического типа.

Уравнение характеристик Ady² - 2Bdxdy + Cdx² = 0 принимает вид a²dt² - dx² = 0 или dx² - a²dta² = 0. Оно распадается на два уравнения dx – adt = 0, dx + adt = 0, откуда получаем х – at = С1, х + at – С1.

Введя новые переменные ξ и η по формулам

(27.17)

ξ = x – at, η = x + at

преобразуем уравнение (27.15) к каноническому виду.

Выражаем частные производные по переменным х, t через частные производные по ξ, η:

Подставляя в уравнение (27.15) выражения для частных производных второго порядка, получаем

Проинтегрируем последнее уравнение. Положим тогда

Следовательно, , или u = φ(ξ) + ψ(η), где φ(ξ), ψ(η) – произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументов. Принимая во внимание (27.17), последнюю формулу можно записать так:

(27.18)

u = ξ(x – at) + η(x + at)

Формула (27.18) определяет общее решение уравнения (27.15).

Среди всех этих решений найдем то, которое удовлетворяет условиям (27.16), Для функции (27.18) и ее частной производной по t

условия (27.16) принимают вид

(27.19)

φ(x) + ψ(x) = f(x), a[ψ'(x) – φ'(x)] = F(x)

Второе равенство проинтегрируем по отрезку [0, х]. Обозначив переменную интегрирования через z получим

где С = φ(0) + ψ(0)

Итак,

откуда

Это уравнение и первое из уравнений (27.19) позволяют определить функции φ(x) и ψ(x):

Подставляя в эти формулы вместо х соответственно х – at и х + at, получаем

В соответствии сформулой (27.18) находим

или

(27.20)

Формула (27.20) представляет решение Д'Аламбера рассматриваемой задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Читателю предлагается непосредственной проверкой убедиться в том, что функция (27.20) удовлетворяет уравнению (27.15) и условиям (27.16).