Задание 8. Решить задачу Коши при начальном условии

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Задача Коши методом Лагранжа
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

Решение: Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением  первого порядка следующего вида:

, где ,

Решим уравнение методом Лагранжа. Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения

 Имеем

Это уравнение с разделяющимися переменными. Умножив обе части этого уравнения на , получим . Почленно интегрируя имеем:

, , ,

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

, где c(х) – неизвестная функция

Подставляя в исходное уравнение

, приходим к уравнению

Отсюда

Таким образом, получим общее решение неоднородного уравнения:

Используя начальное условие, определим значение произвольной постоянной

, 

Следовательно частное решение исходного уравнения имеет вид

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y' = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Задача Коши методом Лагранжа
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у'= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).