Задача Коши для уравнения – решение

11.4. Линейные уравнения 1-го порядка

Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения

(1)

у' + р(х)у = q(x)

с начальным условием

(1')

y(х0) = y0

План решения.

1-й способ.

1. Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:

(2)

y' + p(х)у = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (2)

(3)

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3), считая С неизвестной функцией x, т.е. полагая С = С(x);

б) подставляем в уравнение (1) у и y', определяемые из соотношения (3), где С = С(х). Из полученного дифференциального уравнения определяем функцию С(х).

4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем в виде

(3')

Здесь С(х) содержит произвольную постоянную С0.

5. Используя начальные условия (1'), находим значение С0 и получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = φ(х).

2-й способ.

1. Ищем решение уравнения (1) в виде

(4)

у = u(x)v(x),

где u и v – неизвестные функции х.

2. Уравнение (1) принимает вид

(5)

u'v + uv + p(x)uv = q(x).

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

Пусть одна из функций (например, u(х)) удовлетворяет уравнению

(6)

u' + р(х)u = 0.

Тогда уравнение (5) примет вид

(7)

v'u = q(x).

Решая уравнение (6) (с разделяющимися переменными), находим u, не равное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.

4. Подставляем u(х) в уравнение (7) и решаем его относительно v.

5. Записываем общее решение уравнения в виде у(х) = u(x)v(x).

6. Используя начальные условия (1'), получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = φ(х).

Пример. Найти решение задачи Коши для уравнения

(8)

с начальным условием

y(1) = 1

Решение

1-й способ.

1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Задача Коши методом Лагранжа
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения

у = Сх.

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (8) в виде

у = С(х)х,

где С(х) – неизвестная функция х;

б) подставляя в уравнение (8)

у = С(х)х и у' = С'(х)х + С(х),

получаем дифференциальное уравнение относительно С(х)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные

и интегрируя, получаем

где С0 – произвольная постоянная.

4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8) имеет вид

(9)

5. Используя начальное условие у(1) = 1, получаем

находим С0 = 0 и подставляем в общее решение (9). Ответ, у = 1/х.

2-й способ.

1. Ищем решение уравнения (8) в виде

у = u(x)v(x),

где u и v – неизвестные функции х.

2. Уравнение (8) принимает вид

(10)

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

Пусть одна из функций (например, u(х)) удовлетворяет уравнению

(11)

Тогда уравнение (10) принимает вид

(12)

Решая уравнение (11) (с разделяющимися переменными), находим

u(х) = Ах,

где А – произвольная постоянная (А ≠ 0, чтобы не сужать множество решений).

4. Подставляем u(х) в уравнение (12) и решаем его относительно v:

где В – произвольная постоянная.

5. Записываем общее решение уравнения (8) в виде

где С = АВ – произвольная постоянная.

6. Используя начальное условие у(1) = 1, находим С = 0.

Ответ. у = 1/х.

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Задача Коши методом Лагранжа
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

.

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

.

	Уравнения	Начальные условия		Ответы
1.	ху' + у – ех= 0	у(0) = 1
2.		у(0) = 0
3.	у' cos² x + у = tg x	у(0) = 0		у = e– tg x + tg x – 1
4.	у' – y th x = ch² х	у(0) = 0		y = ch x sh x
5.
6.	у' sin х – у cos х = 1			y = – cos x
7.	y' – y tg x = cos x	у(0) = 0
8.	y' – 2xy = 3х2 – 2x4	у(0) = 0		у = x3
9.	xy' – 2y = 2x4	у(1) = 0		у = x4 – x2
10.	у' + у cos x = esin x	у(0) = 0		у = x e – sin x