Решение задачи Коши вида F(y, y', y") = 0

11.8. Уравнения вида F (y, y', y") = 0

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

F (y, y', y") = 0

с начальными условиями

у(х0) = y0, у'(х0) = y'0

План решения.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной x, полагаем

у' =р(у),

где р(у) – новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно у' =р(у)

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим р = f(у, С), где С – произвольная постоянная.

3. Используя начальные условия (оба), находим С = С1.

4. Подставляя С1, получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделяя переменные в области, где f(у, С1) ≠ 0, получаем

и, интегрируя, находим х = φ(y, C1, С2).

Проверяем, не является ли решение f(y, C1) = 0 особым решением исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям.

5. Используем начальные условия для нахождения второй постоянной C2 (значение C1 уже было найдено в п. 3) и получаем решение задачи Коши.

Ответ записываем в виде у = у(х) или х = х(у).

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Задача Коши методом Лагранжа
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

y'' y³ + 1 = 0

с начальными условиями

y(1) = –1 , y'(1) = –1

Решение.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

у' = p(y),

где р(у) – новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно p(y)

2. Разделяя переменные и интегрируя, находим

т.е.

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Задача Коши методом Лагранжа
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

(знак минус мы выбрали из начального условия y'(1) = –1 < 0.)

3. Из начальных условий (обоих) имеем у' = –1 при у = –1. Отсюда, C1 = 0. Учитывая, что в силу первого начального условия у < 0 и, следовательно, |у| = –у, получаем

4. Разделяя переменные и интегрируя, находим

5. Из начального условия у(1) = –1 получим С2 = 1/2. Следовательно,

(Знак минус мы выбрали из начального условия у(1) = –1 < 0.)

Ответ, .

.

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

.

	Уравнения	Начальные условия		Ответы
1.	у" y³ = 1	у(1/2) = 1 , у'(1/2) = 1		2у² – 4х² = 1
2.	у у" + у'² = 1	у(0) = 1 , у'(0) = 1		у = х + 1
3.	у" – у' ² + у' (у – 1) = 0	у(0) = 2 , у'(0) = 2		у = 2ех
4.	у² + у' ² – 2 у у" = 0	у(0) = 1 , у'(0) = 1		у = ех
5.	3у' у" = у + у'³ + 1	у(0) = – 2 , у'(0) = 0
6.	у' у² + у у" – у'² = 0	у(0) = 1, у'(0) = 2
7.	2 у у" – 3 у' ² = 4у²	у(0) = 1, у'(0) = 0		у = sec² x
8.	(1 + y у' ) у" = (1 + у'²) у'	у(0) = 1, у'(0) = 1		у = ех
9.	2 у у" + у² – у'² = 0	у(0) = 1 , у'(0) = 1		у = sin x + 1
10.	у у' + у'² + у у" = 0	у(0) = 1 ,