Решение задачи Коши методом Лагранжа

11.11. Метод Лагранжа

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

(1)

у" + p1 у' + p2 y = f(x)

с начальными условиями

(1')

у(х0) = y0 , у'(х0) = y'0

План решения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами

(2)

у" + p1 y' + p2 y = 0.

Находим фундаментальную систему решений y1(х) и у2(x) и общее решение однородного уравнения

у = С1 у1(х) + С2 y2(х).

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).

Если известна фундаментальная система решений у1(х), у2(х) однородного уравнения (2), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле

у = C1(x) y1(x) + C2(х) у2(х),

где функции С'1(х) и С'2(х) определяются из системы линейных алгебраических уравнений

(3)

Интегрируя, находим функции С1(х) и С2(х) и записываем общее решение неоднородного уравнения.

3. Используя начальные условия (1'), находим решение задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = у(х).

Пример. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями у(0) = 1, y'(0) = 0.

Решение.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение:

у" + у = 0.

Находим фундаментальную систему решений у1 = cos х и у2 = sin х и общее решение однородного уравнения

у = С1 cos х + С2 sin х.

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных):

а) ищем решение данного неоднородного уравнения в виде

у = С1(х) cos х + С2 (х) sin х ;

б) записываем систему уравнений для определения функций С'1(х) и C'2(x):

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши для уравнения Бернулли
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

Решая ее (так как решение ищем в окрестности точки х = 0, то cos х > 0), получим

С'1(х) = - tg x , С'2(х) = 1.

Интегрируя, находим

С1(х) = ln cos х + C1* , С2(х) = х + C2*;

в) записываем полученное общее решение данного неоднородного уравнения

у = (ln cos х + C1*) cos х + (х + C2*) sin х.

3. Используя начальные условия, определяем константы C1* и C2*. Так как

у(0) = (ln cos 0 + C1* cos 0 + (0 + C2*) sin 0 = 0,

то C1* = 1. Так как

у'(0) = (ln cos 0 + C1*) sin 0 + () cos 0 + sin 0 + (0 + C2*) cos 0 = 0 ,

то C2* = 0.

Ответ, у = cos x (ln cos x + 1) + x sin x.

.

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

.

	Уравнения	Начальные условия		Ответы
1.		y(1) = 0 , y'(1) = 0		у = (1 - х + х ln х) е-х
2.
3.	у" + 4у = 2 tg x	у(0) = 0 , y'(0) = - 2
4.		у(0) = 0 , y'(0) = 0
5.	у" + у = tg х	у(0) = 2 , y'(0) = 1
6.		у(1) = e , y'(1) = 3e		у = х ех (1 + ln х)
7.	у" - у = th х	y'(0) = 1		у = (ех + е-х)(1 + arctg ех)
8.	у" - 2у = 4 х² ех²	у(0) = 3 , y'(0) = 0
9.		у(1) = e - 4 , y'(1) = e - 2
10.