Решение задачи Коши для уравнения Бернулли

11.5. Уравнение Бернулли

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли

(1)

у' + g(х) у = f(x) y^α (α ≠ 0,1)

с начальным условием

(1')

y(х0) = y0

План решения.

1. С помощью подстановки

y = z^{1/(1 - α),}

уравнение приводится к линейному

(2)

z' +p(x) z = q(x),

где р = (1 – α)g и q = (1 – α) f.

2. Решаем линейное уравнение (2) и делаем замену z = y^{1 – α}.

3. Используя начальное условие (1'), находим решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = φ(х).

Замечание. При решения уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а искать решение в виде у = u(x)v(x) или применять метод вариации произвольной постоянной.

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши методом Лагранжа
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

Пример. Найти решение задачи Коши

(3)

ху' + у = ху²

с начальным условием

y(1) = 1

Решение.

Преобразовав уравнение к виду

(4)

убеждаемся, что это уравнение Бернулли с α = 2.

1. С помощью подстановки

у = z^{1/(1 – α)} = z ^{– 1}

уравнение (3) приводится к линейному

(4)

2. Решаем уравнение (4) методом вариации произвольной постоянной:

а) решаем однородное уравнение

получаем z = С х

б) ищем решение неоднородного уравнения в виде

z = С(х) х;

в) подставляя в уравнение (4)

z = С(х) х,   z' = С'(х) х + С(x),

получаем уравнение с разделяющимися переменными

С'(х) х = -1.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

С(х) = С0 – ln x.

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (4) имеет вид

z = x(С0 – ln x),

или, после замены z = у ^{– 1},

Задача Коши на страницах:
• Задача Коши для уравнения – решение.
• Задача Коши вида f(y,y',y")=0
• Задача Коши методом Лагранжа
• Решение задачи Коши. Пример.
• Дифф. уравнения I порядка. Теорема Коши.
• Начальные и краевые усл. Задача Коши.

получаем С0 = 1.

Ответ.  

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

.

	Уравнения	Начальные условия		Ответы
1.		y(1) = 0
2.				у = (1 + x2) arctg4 x
3.	х у' + у = – х² у²	y(1) = 1
4.	х у' + у = – х² ln x	y(1) = 1
5.	(х + 1) у' + у = – у² (х + 1)	y(0) = 1
6.	у' + 2 у = ех у²	y(0) = 1		у = е – x
7.	у' + у = ху²	y(0) = 1
8.
9.
10.	у' – y tg x + у² cos x = 0	y(0) = 1